ما هو التفكير الجبري؟

 ما هو التفكير الجبري؟



يخلط الناس عادة بين ما هو جبر وما هو حساب، وتكون الحدود بين الإثنين ضبابية. وإذا كانت الرياضيات عندهم تنقسم عادة الى حساب وهندسة، فإن الجبر يقف في صف الحساب.


الدكتور أحمد هيبي

وأكثر ما يتذكره البعض من الجبر، هو ما تعلّموه في المدرسة الثانوية، وما جاءهم على شكل مجاهيل أو متغيرات سمّاها المعلمون بـ "س" و "ص"، أو "x" و "y" .
وبالفعل، إن الجبر يستعمل الرموز المذكورة كأدوات، كما يستعمل النجّار المنشار. وقد يخطر لك أن هذا التشبيه ضعيف، بسبب أن أحرف اللغة التي تُستعمل كأدوات هي متوفرة أكثر من المنشار . وهذا صحيح، ولكن المنشار بيد من لا يستطيع استعماله ليس الا قطعة من الحديد .والمغزى ليس فقط في الأداة ، بل أيضا في طريقة استعمالها، وفي الهدف من استعمالها، والنتائج التي نحصل عليها من هذا الاستخدام.
في الحساب نجمع ونطرح الأعداد التي نعرفها، ولكننا في الجبر نقوم بهذه العمليات على ما يرمز لهذه الأعداد أو ينوب عنها . وعند هذا الحد يصبح الجبر امتدادا طبيعيا للحساب . 
في الحساب نكتب 8 = 5 + 3 أما في الجبر فنكتب أن 5x + 3x = 8x . 
ومن هذا المثال يتضح أن الجبر يستمد قوانينه أصلا من قوانين الحساب. فقوانين التجميع والتوزيع والتبادل صحيحة، ما دامت تمارس على الأعداد أو ما يمثلها، أو ما يكون تعميما لها، مثل المعادلات والمصفوفات، وكثيرات الحدود .. الخ.
ولهذا السبب كنا نقول دائما أن الجبر هو توسيع لمادة الحساب . أو أن الجبر في واحدة من حالاته هو تعميم للحساب . فبدل أن نكتب: الخ، بمعنى أن العدد 1 هو عنصر محايد في الضرب، فإننا نكتب: ، لكل عدد. n إن الجملة الأخيرة فضلا عن كونها مكتوبة بالرموز، هي تعميم لجميع الأمثلة التي ترينا حياد العدد 1 في عملية الضرب. 
ما هو جوهر الجبر؟
تحدّثنا حتى الآن عن الشكل وعن الرموز والأدوات، دعونا من الشكل، فقد بدأ الحساب قبل الرموز، وبدونها . ما هي الفكرة الجديدة في الجبر، وبماذا يمتاز عن الحساب؟ 
لقد قال من قال أن الأمور العظيمة ترتكز في العادة على ملاحظات أو أفكار غاية في البساطة . ان علم الجبر يبدأ من هذه الفكرة البسيطة التي يستعملها يوميا ومنذ أقدم العصور أكثر الناس، وهي أننا وفي معرض بحثنا عن الحل، نفترض أننا نعرف الجواب، ونرى ما يترتب على ذلك.
لنقل أننا نواجه مسألة تتطلب الحل, ونحن لا نعرف جوابها . ولكننا "سنتظاهر" أننا نعرف الجواب، وخلال هذا التظاهر سنرمز للجواب بـ . x وسنقوم بتسجيل جميع العلاقات التي تربط x بباقي المُعطيات. فما الذي يحدث؟ سوف تقودنا هذه العلاقات الى معرفة x. هذا هو جوهر الجبر.
أنظروا الى هذا المسألة القديمة قدم الحساب كمثال: 
أشجان حمار وبغل
إلتقى حمار وبغل في الطريق، وكان كل منهما يحمل مجموعة ثقيلة من الأكياس . قال الحمار للبغل، وقد كان يحمل من الأكياس أكثر مما يحمل البغل : لو تأخذ كيسا واحدا مما أحمل، لأصبح حملانا من الأكياس متساويين. فقال البغل الذي لم يعجبه هذا الكلام: بل لو أخذت أنت كيسا واحدا مني، لأصبح ما معي من الأكياس نصف ما معك. 
كم كيسا كان يحمل كل واحد من الإثنين؟ 
واضح من السطور الأولى أن الحمار يحمل أكثر مما يحمل البغل بكيسين. وهذا معنى الكلام أن البغل لو أخذ كيسا من الحمار، لأصبح ما يحمل الإثنان متساويا. وهذه الملاحظة يعرفها جيدا المشتغلون بالانتخابات. فلو كان الفرق بين أصوات زيد وأصوات عبيد هي 200 صوت مثلا لصالح زيد، فإنه يكفي أن يغير 100 ناخب تصويتهم، ويصوتون لعبيد بدل زيد، ليصبح عدد أصوات الإثنين متساويا. 
لنقل اذن أن عدد الأكياس التي يحملها الحمار . x إن عدد الأكياس التي يحملها البغل هي اذن x - 2 
لو تقدمنا في قراءة المسألة لوجدنا أن البغل يريد أن يخفف من حمله أيضا، بأن يقترح على الحمار أخذ كيس منه، ليصبح حمله نصف حمل الحمار، أو بلغة أخرى: حمل الحمار يصبح ضعفي حمل البغل. هنا نجد علاقة جديدة نستطيع أن ندخل فيها x ، وهي: 
لا يجدر بكم القول أننا غالينا في التعقيد . فهذه معادلة يستطيع حلها أي طالب في المدرسة الإعدادية، ليجد أن . 7=x أي أن ما عدد الأكياس التي يحملها الحمار هي 7، بينما عدد الأكياس التي يحملها البغل هي 5. 
وقد يقول البعض، وما الحاجة الى كل هذا التعقيد والجبر، لقد كنا نستطيع أن نصل الى الجواب عن طريق التخمين . فنبحث عن عددين أحدهما أكبر بـ 2 من الآخر. ولو أخذنا من الكبير 1 وأضفناه للصغير، أصبح الكبير ضعفي الصغير . وهذا صحيح. ونستطيع أن نبدأ بعددين هما 10، و8 مثلا، ونستمر في التجريب الى أن نصل الي الجواب الصحيح.
ولكن كونوا واقعيين : التخمين لا يعمل جيدا عندما تكون الأعداد كبيرة. والتخمين قد يأتي بالنتيجة وقد لا يأتي. ان التخمين يعتمد على الحظ أو على المهارة في الحساب التي قد لا يمتلكها الا المجربون.
ثم ان التخمين يعطينا حلا واحدا للمسألة .وقد يكون للمسألة أكثر من حل أو ما لا نهاية من الحلول . والتخمين لا يستطيع تحديد عدد الحلول. كل هذه سلبيات التخمين . ولكن لا تنسوا ميزة التخمين الكبرى . وهو أنه يوجه تفكيرنا ويعطينا شرارة البدء الأولى. فاذا أمكن الجمع بين القدرة على التخمين، والمنهجية الجبرية في حل المسائل، لكان ذلك أفضل بكثير. 
التفكير الجبري في مجالات الحياة
ان روح التفكير الجبري قائمة في أكثر مجالات الحياة. ان المهندس الذي يريد أن يبني سيارة، انما يرسمها أولا على الورق، بامكانيات مختلفة. إنه يفرض أن سيارته قائمة، وأنها تلبي الحاجات المصنوعة من أجلها، فيسأل على ضوء هذه المعطيات، ما ينبغي أن يكون حجمها؟ وما المواد التي يجب أن تصنع منها؟ وكم تكلف.. الخ . فاذا لم توافق المعطيات الأولية النتائج المرجوة، فإنه يقوم بتغيير المعطيات ويبدأ الكرة من جديد.
لقد بنى "ليوناردي دافنشي" الرسام الايطالي المشهور، نماذج للسيارات والمناطيد والطائرات والدبابات قبل اختراعها بقرون .أراد سلاحا هجوميا يكون فيه المهاجم محميا ومختفيا وراء جدار من الحديد شبه حصن للجندي داخل المعركة . ولكن الجندي يتحرك . فليكن الحصن متحركا أيضا. وهذا ما قاده الى بناء الدبابة الأولى، فرسمها على الورق، قبل أن تصبح حقيقة.
ليس فقط الرجال العظام يرون مشاريعهم ويتخيلونها ويرسمونها على الورق أو الرمل قبل أن تتحقق. بل أيضا جميع المجتهدون النظاميون الذي يسعون الى الهدف، ويفترضون تحققه، ويرونه في عقولهم وأفكارهم قبل أن يروه متجسدا في الواقع. 
علم الحِيَل
بالإضافة الى ذلك، فإن منطق الجبر هو نفسه منطق الحساب، وهو نفسه منطق التفكير الإنساني عامة . وان كان الجبر يأخذ شكل "الحيلة"، فليس هذا غريبا على سلوك الانسان في المواقف التي تحتاج الى إعمال الحيلة أو الخيال . وقد كان العرب القدماء يسمون علما ما باسم "علم الحيل"، ويقولون أنه "العلم الذي تحصل فيه على فعل كبير من جهد يسير". وهذا ما يتأتى في الرافعات مثلا، وفي علم الميكانيكا عامة .حيث أننا وبواسطة جهد عضلي صغير، نستطيع أن نرفع أو أن نُحرّك ثقلا عظيما . وعن ذلك قال "أرخميدس" اليوناني: أعطوني نقطة ارتكاز وأنا أُحَرّك لكم الأرض.
والحيلة هي ضد المباشرة . ان أقرب طريق للانتقال من غرفة الى غرفة مجاورة هو في اجتياز الجدار القائم بين الغرفتين مباشرة وبخط مستقيم . ولكننا لا نستطيع أن نفعل ذلك الا برأس من حديد. ولكن الأسلم والأصح أن نقوم بدورة صغيرة نعبر فيها بواسطة الباب. 
وفي الكيمياء يستعمل العارفون ما يسمونه "العامل المساعد" في تحقيق أو تحفيز تفاعل كيماوي. هذا العامل المساعد لا يشكل عنصرا فاعلا في التفاعل، بل هو نوع من الإضافة الخارجية، نسرّع بواسطتها التفاعل، دون أن يؤثر في النتائج الحقيقية للتفاعل الكيماوي. انه شيء "نتحايل" فيه على الطبيعة، وعلى الركود القائم فيها. 
ما معنى الجبر ومن أين جاء؟
عندما كنت أشرح لبعض الطلاب الأجانب أن الجبر هو علم اخترعه العرب. وأن كلمة algebra الدالة على هذا العلم في معظم لغات العالم هي نقل حرفي - مع أل التعريف - لكلمة "الجبر" العربية، كانوا ينظرون الي باستغراب . (وهم محقون، فهم لم يروا في حياتهم عربا مبتكرين).
وبالفعل إن أول كتاب وضع في الجبر، انما يحمل أيضا اسم "حساب الجبر والمقابلة". قد وضعه عالم الرياضيات الشهير الخوارزمي في القرن التاسع الميلادي، زمن الخلافة العباسية . يقول ابن خلدون :"علم الجبر والمقابلة من فروع علوم العدد وهو صناعة يُستخرج بها العدد المجهول من المعلوم اذا كانت بينهما صلة تقتضي ذلك . فيقابل بعضها بعضا . ويُجبَر فيها من الكسر حتى يصير صحيحا". 
بحث بسيط عن كلمة algebra في الانترنت، قادتني الى ما كتبه أمريكي معاصر يدعى "شارليز داني" في مقال له عن تاريخ الجبر" : كلمة الجبر algebra جاءت من العربية ... والكلمة نفسها هي مجاز، حيث أن الكلمة تعني تجبير أو تقويم العظام المكسورة". 
ويضيف الكاتب عن طبيعة الجبر وفائدته:" التوكيد في الجبر كان في ايجاد طرق لتبسيط المعادلات الجبرية، والتي سُمِّيت ألغوريتمات algorithms ، على شرف الخوارزمي نفسه". " (فقد نقل الغرب اسم مؤلف كتاب الجبر "جورزمي" وأخذوا من هذا الاسم كلمة algorith تماما كما حولوا كلمة "مخازن"العربية الى magazine في اللغات الغربية).
ولكن ما علاقة تجبير الكسور الذي جاءت منه كلمة "الجبر" بالحساب؟
لقد حاولتُ الجواب على هذا السؤال . فطالعني كلام ابن خلدون الذي اقتبسنا منه آنفا، والذي يربط الجبر بتصحيح الكسور من أجل أن تصبح أعدادا صحيحة . والمعروف أن التعامل مع الأعداد الصحيحة هو أسهل من التعامل مع الكسور. 
يبدو أن السبب يعود الى أكثر مما يذكر ابن خلدون. فليس فقط الكسور هي ما كان بحاجة الى "تجبير" أو "تقويم"، بل أيضا الأعداد السالبة والتي لم يكن مُعترفا بها في زمن الخوارزمي، كأعداد يمكن جمعها وطرحها .. الخ. ولا كان هناك استعمال واسع للصفر.
ولذلك فإن معادلة تربيعية من الشكل كان يجب أن تُكتب هكذا ، وذلك لتلاشي استعمال العدد 0، وتلاشي استعمال المُعامل السالب -3 للمتغير x وهذا هو ما يعرف ب"جبر" المعادلة، أي تقويمها أو تصحيحها . وليس جميع المعادلات يمكن أن تُجبر، فمثلا لا نستطيع جبر )تقويم( المعادلة ، والسبب أنه لا يمكن كتابتها بدون استعمال الصفر أو الأعداد السالبة . وبالفعل فان معادلة من هذا النوع ما كان يجب أن تعالج أصلا، لأن ليس لها جذران موجبان.
واذا كان هذا هو معنى الجبر في كتاب "حساب الجبر والمقابلة"، فما معنى "المقابلة؟
يشرح شاعر أندلسي قديم هو "ابن الياسمين" معنى الجبر والمقابلة في أرجوزة) أي قصيدة) رياضية, فيقول أن الجبر هو نقل الحدود من طرف الى طرف، بينما المقابلة هي جمع الحدود المتشابهة . ونحن نجمع الحدود المتشابهة في المعادلة من أجل تبسيطها.
وقد كتب هذا الشاعر في ارجوزته:
وبعد ما تجبر فلتقابل / بطرح ما نظيره يماثل.
ومن هذه الأرجوزة اقتبس لكم هذه الأبيات أيضا:
على ثلاثة يدور الجبر / المال والأعداد ثم الجذر
فالمال كل عدد مربع / وجذره واحد تلك الأضلع
والعدد المطلق ما لم ينس / للمال والجذر فافهم تصب
والشيء والجذر بمعنى واحد / كالقول في لفظ الأب والإبن.
وان لم تعجبكم القصيدة أو شاعريتها، فاشفعوا لها بأنها كانت تستخدم لتسهيل حفظ قواعد الجبر لطلبة المدارس.
وبالفعل فقد كان جبر الخوارزمي جبرا يعتمد على الكلام، وليس على الرموز كما هو الحال اليوم. وقد سمّى الخوارزمي المجهول x بالجذر، وسمّى مربعه )أي x2 ) بالمال. والعدد المطلق هو ما نسميه اليوم العدد الحر، اي الذي ليس معاملا لـ x أو . x2 وهذا ما حاول ابن الياسمين شرحه . أما الضلع فهو ضلع المربع الذي طوله x يكون مربعه x2 
بدايات التفكير الجبري
من الصعب أن نُعَرِّف اليوم التفكير الجبري . والسبب بسيط، وهو أن تفكيرنا ، وبعد تمرسنا في الرياضيات سنينا طويلة، أصبح تفكيرا جبريا، بحيث لم نعد نستطيع أن نميز بينه وبين أي تفكير لا نسميه جبريا . وحين يسألنا شخص عن حل أحجية ما، فإن أيدينا تمتد الى القلم والورقة، أما تفكيرنا فيدخل مباشرة في التفاصيل: ما هو المعلوم؟ وما هو المجهول؟ ومن سيكون x ؟ وكيف نربط بين المعلوم والمجهول ?وما هي المعادلة التي يجب تكوينها والتي بحلها سنجد الجواب؟ ثم كيف نفحص صدق هذا الجواب?
لقد اكتشفت مرة أثناء كتابتي لمادة الرياضيات في المدارس الابتدائية والاعدادية - ،أن المسائل الكلامية للصفوف السادسة أصعب بكثير من المسائل الكلامية المعطاة للصفوف السابعة و الثامنة والتاسعة . والسبب أنهم في الصفوف الدنيا لا تكون لهم دراية بالجبر، وعليهم اذن حل مسائلهم بالطرية الحسابية. بينما لا يجد طلاب الصفوف السابعة والثامنة أية صعوبة في حل نفس المسائل، فقد أصبحوا قادرين على استعمال أدوات الجبر، التي تجعل من حل المسائل ذاتها مهمة سهلة وممتعة.
واذا جاز لي التحدث عن نفسي كطالب في المدرسة، فقد عرفت الرياضيات الحقيقية، عندما تعلمت مادة الجبر. وقبل ذلك كانت الرياضيات عبارة عن حفظ جدول الضرب وتوسيعه الى العدد 11 و 12 .. ، وتنفيذ عمليات قسمة طويلة، وجمع وطرح عمودي لأعداد لا نهاية لها. كنت أجد أحيانا أن طلابا كثيرين في الصف يقومون بهذه المهمات الشاقة بأسرع مما أفعل. وكان هذا يغيظني . ولكن حين تعلمنا مادة الجبر، بدا أن الأمور تتجه لصالحي. اذ أن أن معظم الطلاب "الحسابيين"، الذين يعتمدون على ملكة الحساب عندهم وحبهم للأعداد، لم يهتموا كثيرا بهذه الأداة الطيعة التي تسمى الجبر، فأحجموا عن استعمالها وخسروا الكثير.
لقد جاء الجبر لي ولمن هم علي شاكلتي بالفرج. 
ان الجبر يعينك على الحل، انه يعطيك الطريقة . وأنت لن تعود بحاجة الى تذكر كل شيء، أو الاعتماد على ذاكرتك المثقلة. فالجبر يمهلك ويجعلك تسجل خطواتك واحدة وراء الأخرى، بصورة مرتبة، منطقية وواضحة. فيكون الانتقال من مرحلة الى المرحلة التالية واضحا ومفهوما ولا يحتاج الى عناء كبير. انه يعطيك الحل على طبق من ذهب. ويريح أولئك الذين كان الحساب يتعب رؤوسهم . وكما أعطى فرانسيس بيكون للعالم طريقة ومنهجا للتمييز بين ما هو علم خالص موثوق به وما هو خزعبلات وخيالات أو مجموعة من المعتقدات الزائفة، فإن الخوارزمي أعطى للعالم طريقة منظمة وطريقة محكمة وبسيطة للتوصل الى الحل. بل لقد وجدت عالما رياضيا فرنسيا هو ديلامبير يقول:"ان الجبر كريم جدا، فهو يعطيك أكثر مما تطلب منه". 
الكمبيوتر كمثال
وقد مررنا كطلاب بتجربة مشابهة، عندما في الجامعة قدموا لنا مادة الكمبيوتر، ولم يكن الكمبيوتر يومها آلة طيعة يديرها ولد صغير كما هي اليوم . فكان ان استهنّا بقدرات هذه الأداة الحديثة، في حين استغلها الآخرون أحسن استغلال . ولا تظنوا أن" بيل جيتس" يكبرنا بكثير من السنوات . ولا أن علاماته في الرياضيات كانت أفضل من علاماتنا. ولكننا لأخطأنا لم نصح الى خطأنا الا بعد سنوات، حين استدركنا ما فاتنا، واعترفنا بقوة الكمبيوتر وما تبعه من انترنت,والذي ربما فاقت أهميته أهمية اختراع الإنسان لأول دولاب في التاريخ. 
وكما هي البساتين المحمية، التي تحجبها عنا حواجز وبوابات تبدو لنا قوية وممانعة عند محاولة الدخول أول مرة، هكذا هو بستان الجبر، بحاجة الى همة قليلة لكسر الحاجز، والدخول من أجل الاستمتاع بالثمار الطيبة الدانية . فلا يعود الحساب عبئا ، بل يصبح فنا جميلا هادفا، ونتيجة كبيرة نحصلها بجهد يسير.
وهذا ما أظل أشرحه لطلابي دائما أن مادة الجبر جاءت لتسهل الحساب لا لتعقده. جاءت لحل المشاكل لا لتكريسها أو الهروب منها . لقد كتب الخوارزمي نفسه، في مقدمة كتابه في حساب الجبر والمقابلة، يشرح هذه الفكرة بالذات:" اني ألّفت من كتاب الجبر والمقابلة كتابا مختصرا حاصرا للطيف الحساب وجليله، لما يلزم الناس من الحاجة اليه في مواريثهم ووصاياهم، وفي مقسماتهم وأحكامهم وتجاراتهم وفي جميع ما يتعاملون به من مساحة الأراضي وكري الأنهار والهندسة، وغير ذلك من وجوهه وفنونه .." 
تعريف التفكير الجبري
وان كنتم في هذه المقالة الصغيرة بحاجة الى مصادر، كما تعود المدرسيون في أن يفعلوا، فسأذكر في تعريف "التفكير الجبري"، ما كتب المؤلفان "هيربرت وبراون" في مقال لهما من سنة: 1997 "أن التفكير الجبري هو استعمال الرموز والأدوات لتحليل أوضاع حسابية مختلفة بواسطة استخلاص المعلومات من هذه الأوضاع أولا، وثانيا تمثيل هذه المعلومات المستخلصة بواسطة الكلمات، الجداول، الرسوم البيانية، والمعادلات. وثالثا تفسير هذه المعلومات بايجاد الحل بالنسبة للمجاهيل، وفحص الفرضيات المختلفة".
أما "فانس", (1998) فيعرف التفكير الجبري بقوله" : الجبر هو شيء أشبه بتعميم للحساب . أو كلغة نعمم فيها الحساب، وعلى أية حال، فإن الجبر وهو أكثر من مجرد مجموعة من القوانين، فإنه طريقة للتفكير". 
هدف التعليم
وفي الأخير لا نريد التمييز بين من يملك موهبة التفكير الجبري، ومن اكتسب هذه الموهبة بالمران والدراسة . فهدف التعليم هو أن نعطي للمتعلم ما لا يستطيع أن يكتسبه لوحده أو ما ليس مغروسا فيه. أما بالنسبة للذين يملكون الموهبة، ويكون هذا النوع من التفكير مغروسا فيهم، فإن التعليم يفيدهم أيضا، بأن يطور موهبتهم ويكشف لهم طرقا جديدة وأفكارا تدعم ما عندهم من أفكار . فالتعليم في هذه لحالة يصقل الموهبة ويطورها .ولا تنسوا أننا اليوم نعيش على نعم الآخرين، الذين اكتشفوا لنا الجبر والهاتف والتلفاز والسيارة وغير ذلك من تحف الحياة.

رأي هيئة تحرير موقع بانيت.
كذلك نلفت نظر الاخوة الكتاب إلى انه نظرا لضيق عامل الزمان والوقت ، تعطى الأولوية لمقالات من 500 ـ 700 كلمة ، لذا نرجو التقيد بهذا العدد من الكلمات . 



ملاحظة : هيئة التحرير في موقع بانيت تلفت انتباه كتبة المقالات الكرام ، انه ولاسباب مهنية مفهومة فان موقع بانيت لا يسمح لنفسه ان ينشر لكُتاب ، مقالات تظهر في وسائل اعلام محلية ، قبل او بعد النشر في بانيت . هذا على غرار المتبع في صحفنا المحلية . ويستثنى من ذلك أي اتفاق اخر مع الكاتب سلفا بموافقة التحرير .